МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" МЕТОДИ УТОЧНЕННЯ КОРЕНІВ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Методичні вказівки до лабораторної роботи № 1 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації", 6.170103 "Управління інформаційною безпекою" Затверджено на засіданні кафедри «Безпека інформаційних технологій» Протокол № 12 від 12.05.2011р. Львів – 2011 Методи уточнення коренів нелінійних рівнянь: Методичні вказівки до лабораторної роботи №1 з курсу "Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем" для студентів базових напрямів 6.170101 "Безпека інформаційних і комунікаційних систем", 6.170102 "Системи технічного захисту інформації", 6.170103 "Управління інформаційною безпекою" /Укл.: Л.В. Мороз, А.Я. Горпенюк, Н.М. Лужецька - Львів: Видавництво НУ “ЛП”, 2011.- 18 с. Укладачі: Л.В. Мороз, к.т.н., доц. А.Я. Горпенюк, к.т.н., доц. Н.М. Лужецька, асист. Відповідальний за випуск: В.М. Максимович, д.т.н., проф. Рецензенти: В.В. Хома, д.т.н., проф., А.Е. Лагун, к.т.н., доц. Мета роботи – ознайомлення з методами уточнення коренів нелінійних рівнянь з одним невідомим. ВСТУП Нехай задане рівняння
, (1) де
– неперервна функція. Необхідно знайти всі або деякі корені рівняння (1). Подібна задача розв’язується за два етапи. Перший етап. На цьому етапі розв’язується задача відокремлення коренів нелінійного рівняння. Задача полягає у виокремленні достатньо малої області, що належить області допустимих значень функції
, у якій існує один і тільки один корінь рівняння (1). Відокремлення або ізоляція коренів рівняння (1) грунтується на теоремі Больцано-Коші: якщо неперервна функція
на кінцях відрізка
має різні за знаком значення, тобто
, то на цьому відрізку рівняння (1) має хоча б один корінь. Якщо крім цього похідна
існує і зберігає знак на відрізку
, тобто
, або
, то корінь єдиний. Задача ізоляції коренів нелінійного рівняння (1) вирішується шляхом табулювання функції
або графічно - шляхом побудови графіку функції
і визначення за графіком відрізків, на яких локалізовано корені рівняння (1). Графік функції як правило будують приблизно із застосуванням методів математичного аналізу. Результати першого етапу є вихідними даними для задачі уточнення коренів нелінійного рівняння. Другий етап. Уточнення наближеного розв’язку до заданої точності. Вихідними даними для задачі уточнення кореня є рівняння (1) і відрізок
. Відомо, що функція
має різні знаки на кінцях цього проміжку, тобто виконується умова
(2) Крім того,
та
– неперервні і зберігають знак на проміжку
. Необхідно знайти корінь рівняння (1) із заданою граничною абсолютною похибкою Е. Поширеними методами розв’язку цієї задачі є метод поділу проміжку навпіл, метод хорд, метод Ньютона (дотичних), комбінований метод хорд та дотичних, метод простої ітерації, метод Ейткена–Стефенсона і метод Стефенсона. МЕТОДИ УТОЧНЕННЯ КОРЕНІВ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Метод поділу проміжку навпіл Цей метод відомий також за назвами методу бісекцій або методу дихотомії. Це простий і надійний алгоритм уточнення коренів рівняння (1). Суть методу полягає в тому, що відрізок
ділиться навпіл, тобто вибирається перше наближення кореня (Рис.1):
(3) Якщо
, тоді
є коренем рівняння (1). 
Рис.1. Якщо
, то вибирають той з відрізків
чи
, на кінцях якого функція має різні знаки. Обраний відрізок знову ділять навпіл і т.д. Процес обчислень проводиться доти, доки величина відрізку
не стане меншою від заданої похибки Е. Метод досить стійкий до похибок заокруглень. Але й збігається теж повільно. При збільшенні точності значно зростає об’єм обчислень. Тому на практиці метод часто використовують для грубого визначення початкового наближення кореня, а далі застосовують швидко збіжний ітераційний метод. Метод бісекцій збігається для будь-яких неперервних...